A Nash-egyensúly végtelen alkalmazása megmagyarázta: John Nash miért volt zseni

A Nobel-díjas John F. Nash Jr vasárnap autóbalesetben halt meg.

A Nash-egyensúly fogalma intuitív, elegáns és viszonylag könnyen érthető. Elég specifikus ahhoz, hogy értelmes eredményeket és elemzéseket generáljon, ugyanakkor elég általános ahhoz, hogy kiterjessze és alkalmazza számos tudományágra.

John F. Nash Jr vasárnap autóbalesetben halt meg. Hazafelé tartott a Newark repülőtérről, éppen akkor tért vissza Norvégiából, ahol megkapta a tekintélyes matematikai Abel-díjat. Nash játékelméleti munkája, amelyért 1994-ben megkapta a közgazdasági Nobel-díjat – ő az egyetlen személy, aki mindkét kitüntetést elnyerte – valószínűleg a legismertebb. A Nash-egyensúly fogalma intuitív, elegáns és viszonylag könnyen érthető. Elég specifikus ahhoz, hogy értelmes eredményeket és elemzéseket generáljon, ugyanakkor elég általános ahhoz, hogy kiterjesszék és alkalmazzák számos tudományágra – például az evolúcióbiológiára, a közgazdaságtanra, a védelmi tanulmányokra és a politikára. De a matematikai közösség a geometriával és a parciális differenciálegyenletekkel kapcsolatos munkáját tekinti a legfontosabbnak és legmélyebbnek az Ábel-díjas idézete szerint.

Hihetetlen, hogy Nash Nobel- és Abel-díjas munkája is elkészült 30 éves korára. Csak egy 23 oldalas dolgozatot írt 1958-ban a parciális differenciálegyenletekről, és ahogy Harold W Kuhn megjegyezte az 1994-es Nobel-szemináriumon , azokat az eredményeket, amelyekért ezen a héten kitüntették, a posztgraduális tanulmányai első 14 hónapjában érte el. Valóban, Nash PhD-hallgatóként érkezett Princetonba egy egysoros ajánlólevéllel, amelyet RL Duffintól (Carnegie Institute of Technology) kapott, ahol egyetemista volt: Ez az ember egy zseni. A W Tucker, Nash dolgozatának tanácsadója Princetonban évekkel később ezt írta: Időnként úgy gondoltam, hogy ez az ajánlás extravagáns, de minél régebb óta ismerem Nash-t, annál inkább hajlandó vagyok egyetérteni abban, hogy Duffinnak igaza volt.

De 1959 elején Nash kezdett kicsúszni az irányítás alól, és a skizofrénia tüneteit mutatta. Paranoiássá és téveszmévé vált, és néhány rövid tisztánlátási időszaktól eltekintve kutatásai körülbelül négy évtizedre véget értek. Ugyanebben az időszakban Nash neve, az általa formát és definíciót adott nem-kooperatív játék, valamint az egyensúlyi koncepció az alapszintű játékelméleti képzés részévé vált.

Tehát mi az a nem kooperatív játék? Ez nem egy olyan játék, ahol a kifizetések szerkezete miatt az együttműködés kizárt, például egy nulla összegű játékban, ahol az egyik játékos előnye a másik vesztét jelenti. Lehetséges lehetőség az együttműködésre a játékban, de ez kizárt, mert nincs olyan mechanizmus, mint egy jogilag kötelező érvényű szerződés, amely biztosítaná az összejátszást célzó stratégiák iránti elkötelezettséget.

Egy egyszerű és ünnepelt, nem együttműködő játék a Prisoner’s Dilemma (a fenti képen). Tegyük fel, hogy két összeesküvőt tartóztatnak le és hallgatnak ki egyszerre, külön helyiségekben. Mindegyiküknek lehetősége van bevallani vagy anya maradni, és alkut ajánlanak nekik: ha bevallja (de a bűntárs nem), akkor szabadlábra helyezheti, míg a bűntárs 10 évre börtönbe kerül. De ha mindketten csendben maradnak, egy-egy év börtönbe kerülnének apró bűncselekmények miatt. És ha mindketten bevallják, nyolc év börtönt kapnak.

A játék egyedülálló Nash-egyensúlya az, ahol mindkét játékos bevallja. Érdekes módon mindkettő jobban járna, ha egyikük sem vall be. De ez nem egy Nash-egyensúly, amelyet úgy határoznak meg, mint egy stabil állapotot, amelyben egyetlen játékos sem tudja javítani a maga eredményén, tekintettel arra, amit a többi játékos csinál. Tegyük fel egy pillanatra, hogy mindkét játékos valamilyen módon jelzi, hogy nem vall be. Ilyen helyzetben, mivel B játékos nem vall be, A játékos jobban járna, ha lemond, és inkább a gyónást választja – a börtönbüntetés nem vonzóbb, mint egy év rács mögött. Ugyanez igaz B játékosra is. Tehát mindketten eltérnének azon kötelezettségüktől, hogy csendben maradnak, és inkább bevallják.

A Nash-egyensúlyok és a nem kooperatív játékok alkalmazásai végtelenek. Például Indiában néhányan megjegyezték, hogy ma úgy tűnik, hogy a magántőke megvárja a befektetési ciklus beindítását, mielőtt saját pénzt fektetne be. Ezt a helyzetet úgy lehet modellezni, mint egy nem kooperatív játékot két potenciális befektető között, ahol a befektetés előnyei csak akkor realizálódnak, ha mindketten elsüllyednek a pénzükben. Egy ilyen játékban két Nash-egyensúly létezik: az egyik, ahol mindkét játékos befektet, és a kettő, ahol egyik sem fektet be. Úgy tűnik, megrekedtünk a rossz egyensúlyban. És bár Nash be tudta bizonyítani, hogy létezik legalább egy egyensúly egy nem kooperatív játék esetében, az elmélet hallgat arról, hogy miért egy adott eredmény, és miért nem egy másik. Itt jön be a kormány, a társadalom és a normák – hogy a rossz egyensúlytól a jó felé tereljenek.

parth.mehrotra@expressindia.com

Oszd Meg A Barátaiddal: